Entre los matemáticos
europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue sin dudas Leonardo de
Pisa (1170-1250), también llamado Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, aunque es
más conocido como Fibonacci, que significa “hijo de Bonaccio” (bondadoso), que
era el apodo de su padre. A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era
empleado en una factoría mercantil italiana asentada en Bugía, al norte de
Argelia, fue allí donde el joven recibió su primera formación matemática a
cargo de maestros musulmanes. Pronto se dio cuenta de la enorme superioridad de
la notación decimal indo-arábiga (provista de símbolo para el cero y de cifras
cuyos valores dependían de su posición) sobre el engorroso sistema de
numeración romana, empleado todavía en su país natal.
Consciente de las ventajas de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países que rodeaban el mar Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. Así descubrió que la sucesión de los números había sido ya tratada por matemáticos hindúes del siglo XI, pero fue él quien la dio a conocer en Occidente. Cuando regresó a Pisa alrededor del año 1200, escribió una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las pequeñas cantidades de copias que de ellos circulaban también se hacían a mano. Todavía hoy se conservan copias de “Liber abaci” (Libro del ábaco, 1202); “Practica geometriae” (Prácticas de geometría, 1220); “Flos” (Flor, 1225) y “Liber quadratorum” (Libro de los números cuadrados, 1227). Sin embargo, son muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.
La más conocida de sus obras, el “Libro del ábaco” era un amplio tratado del sistema de numeración indo-arábigo, cuyos razonamientos no causaron en un principio demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Sin embargo, con el tiempo su libro llegó a ser la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga en una época en la que todavía se usaban los números romanos, por lo que se la considera impulsora de las bases de la aritmética moderna en Occidente. El libro fue concluido en Pisa en 1202 y ha llegado hasta el presente una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de la época. Esa obra mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo de intereses y otras numerosas aplicaciones. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
Consciente de las ventajas de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países que rodeaban el mar Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. Así descubrió que la sucesión de los números había sido ya tratada por matemáticos hindúes del siglo XI, pero fue él quien la dio a conocer en Occidente. Cuando regresó a Pisa alrededor del año 1200, escribió una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las pequeñas cantidades de copias que de ellos circulaban también se hacían a mano. Todavía hoy se conservan copias de “Liber abaci” (Libro del ábaco, 1202); “Practica geometriae” (Prácticas de geometría, 1220); “Flos” (Flor, 1225) y “Liber quadratorum” (Libro de los números cuadrados, 1227). Sin embargo, son muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.
La más conocida de sus obras, el “Libro del ábaco” era un amplio tratado del sistema de numeración indo-arábigo, cuyos razonamientos no causaron en un principio demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Sin embargo, con el tiempo su libro llegó a ser la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga en una época en la que todavía se usaban los números romanos, por lo que se la considera impulsora de las bases de la aritmética moderna en Occidente. El libro fue concluido en Pisa en 1202 y ha llegado hasta el presente una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de la época. Esa obra mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo de intereses y otras numerosas aplicaciones. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.
“Imaginemos -escribió Fibonacci- que en un patio cercado se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, suponiendo que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen cría y, en el cuarto, el número de parejas llega a ocho. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las ocho parejas ya existentes, hacen trece parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen cría en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen veintiún parejas. Sumando a éstas las trece parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de treinta y cuatro parejas. Sumando a éstas las veintiún parejas que nacen en el octavo mes, el total es de cincuenta y cinco parejas. Sumando a éstas las treinta y cuatro parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen ochenta y nueve parejas. Agregando a éstas las cincuenta y cinco parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de ciento cuarenta y cuatro parejas. Agregando a éstas las ochenta y nueve parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de doscientas treinta tres parejas. Finalmente, sumando a éstas ciento cuarenta y cuatro parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de trescientas setenta y siete parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año”. Y concluyó el matemático: “Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377”.
Medio siglo antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, esta sucesión de números había sido descubierta por algunos matemáticos hindúes que habían investigado los patrones rítmicos que se forman con sílabas o notas de uno o dos pulsos. La sucesión de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza: en las escamas de una piña (aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos de la sucesión), en las flores del girasol (que forman una red de espirales, unas van en el sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión) y en la variable cantidad de pétalos de las margaritas. También se presenta en las espirales de las galaxias. Los primeros números de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229, etc.
En el “Libro de los números cuadrados” aparecen otras interesantes deducciones realizadas por Fibonacci. En él desarrolló la teoría de los números y, entre otras cosas, examinó los métodos para encontrar los triples pitagóricos. En primer lugar, destacó que los números cuadrados podían ser construidos como sumas de impares: “Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1; sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la secuencia y serie de números cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares”.
Para construir los triples
pitagóricos, Fibonacci explicó: “Así cuando deseo encontrar dos cuadrados cuya
adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar como uno de los dos
y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números impares desde la
unidad hacia arriba, pero excluyendo el cuadrado impar. Por ejemplo, tomo 9
como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado siguiente se
obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a 9, es decir
1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da 25, otro
cuadrado”.
Tiempo después, los
números de Fibonacci fueron estudiados por el matemático y astrónomo alemán
Johannes Kepler (1571-1630), quien desarrolló el concepto que pasaría a la
historia como “la divina proporción” en su obra “Strena seu de nive sexángula”
(El copo de nieve de seis ángulos) de 1611. Allí aplicó dicha sucesión a la
simetría en los cristales de hielo, estudios que luego serían continuados por
el matemático escocés Robert Simson (1687-1768) en “The elements of the conic
sections” (Los elementos de las secciones cónicas) de 1753, y ampliados por
científicos como el estadounidense Alwyn Bentley (1865-1931) o el japonés
Ukichiro Nakaya (1900-1962) ya en el siglo XX.
También se utilizó en distintas
vertientes del arte, como en las instalaciones y lienzos del artista italiano
Mario Merz (1925-2003) “Igloo di Giap” (Iglú de Giap), “La natura è
l’equilibrio della spirale” (La naturaleza es el equilibrio de la espiral), “Il
guardiano” (El guardián), “Pittore in Africa” (Pintor en África) y “Fibonacci
sequence” (Secuencia de Fibonacci); y en la literatura, como en el poema “Alfabet”
(Alfabeto) de la poetisa danesa Inger Christensen (1935-2009), en los poemas de
“The weight of numbers” (El peso de los números) de la poetisa estadounidense Judith
Baumel (1956), en los poemas de “Las razones del agua” del poeta español Francisco
Javier Guerrero (1976), en la novela de ciencia ficción “Rama II” del
estadounidense Gentry Lee (1942) en coautoría con el británico Arthur C. Clarke
(1917-2008), o como en la novela “The Da Vinci code” (El código Da Vinci) del
escritor estadounidense Dan Brown (1964).
Son numerosos también los
ejemplos de la utilización de la proporción numérica de Fibonacci en famosas
obras pictóricas. Así, por ejemplo, pueden citarse lienzos de pintores
italianos como “La nascita di Venere” (El nacimiento de Venus) de Sandro
Botticelli (1445-1510), “Uomo Vitruviano” (Hombre de Vitruvio) y “Gioconda” (La
Gioconda) de Leonardo Da Vinci (1452-1519), “La madonna del cardellino” (La
virgen del jilguero) de Rafael Sanzio (1483-1520) y “Davide e Golia” (David y
Goliat) de Michelangelo Caravaggio (1571-1610); los de pintores españoles como
“Las meninas” de Diego de Velázquez (1599-1660) y “Leda atómica” de Salvador Dalí
(1904-1989); el del pintor alemán “Adam und Eva” (Adán y Eva) de Albrecht Durero
(1471-1528); el del pintor neerlandés “De sterrennacht” (La noche estrellada) de
Vincent van Gogh (1853-1890) y el del pintor uruguayo “Construcción en rojo y
ocre” de Joaquín Torres García (1874-1949).
Incluso el famoso fotógrafo francés Henri Cartier Bresson (1908-2004) utilizó la representación geométrica de la sucesión de Fibonacci conocida como “Espiral de Fibonacci” en muchas de sus fotografías en blanco y negro, y lo propio hizo el artista neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) en muchos de sus dibujos y grabados. Evidentemente, muchos de estos artistas adhirieron a las ideas del teórico y pintor ruso Vasili Kandinksy (1866-1944) quien, en su ensayo de 1926 titulado “Punkt und linie zu fläche: ein beitrag zur analyse der malerischen elemente” (Punto y línea sobre el plano: una contribución al análisis de los elementos pictóricos), propuso que la imaginación de los artistas fuera reemplazada por una concepción matemática. O tal vez lo que hicieron fue conjugar ambas habilidades: la creatividad ficcional con la ciencia numérica.
Si bien ya la civilización sumeria -considerada como la más antigua del mundo conocida por la humanidad- en el tercer milenio a.C. tuvo una importante actividad comercial basada en el intercambio de productos agrícolas por metales preciosos como el oro y la plata, en la civilización griega la mayoría de los grandes pensadores consideraban indignas las aplicaciones de las matemáticas a las transacciones comerciales. El filósofo Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.), por ejemplo, en su obra “Politiká” (Política) se oponía al comercio porque lo consideraba una actividad para obtener ganancias a costa de los demás y estaba en contra del cobro de intereses, algo que juzgaba una aberración. Sin embargo, en la antigua Roma, por entonces era común que alguien con dinero para prestar se ubicara en un banco de plaza y allí hiciera sus negocios, dando comienzo al funcionamiento de los antepasados de los bancos.
En los tiempos de Fibonacci, luego de una oscura época posterior a la caída del Imperio Romano, comenzó en Europa a resurgir la economía. El intercambio comercial entre ciudades ubicadas sobre el mar Mediterráneo estaba en su auge. Ciudades marítimas como Génova, Venecia, Amalfi e inclusive su ciudad natal, Pisa, fueron de fundamental importancia para el comercio mediterráneo. Por esa razón se desarrolló notablemente la matemática financiera, algo en lo que la “secuencia de Fibonacci” tuvo una gran relevancia. Pasados los siglos, hoy en día, el desarrollo de esas herramientas matemáticas guarda una estrecha relación con el surgimiento de operaciones financieras cada vez más sofisticadas y especulativas dentro de un sistema económico en el cual, las instituciones financieras, desempeñan un papel central en desmedro de la producción de bienes y servicios y provocan la concentración de la riqueza, la inestabilidad económica y el acrecentamiento de las desigualdades sociales. Algo que, seguramente, Fibonacci no pensó en su momento.








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