Las matemáticas de Fibonacci: de los conejos y las artes a la especulación financiera

Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue sin dudas Leonardo de Pisa (1170-1250), también llamado Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, aunque es más conocido como Fibonacci, que significa “hijo de Bonaccio” (bondadoso), que era el apodo de su padre. A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado en una factoría mercantil italiana asentada en Bugía, al norte de Argelia, fue allí donde el joven recibió su primera formación matemática a cargo de maestros musulmanes. Pronto se dio cuenta de la enorme superioridad de la notación decimal indo-arábiga (provista de símbolo para el cero y de cifras cuyos valores dependían de su posición) sobre el engorroso sistema de numeración romana, empleado todavía en su país natal.
Consciente de las ventajas de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países que rodeaban el mar Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo. Así descubrió que la sucesión de los números había sido ya tratada por matemáticos hindúes del siglo XI, pero fue él quien la dio a conocer en Occidente. Cuando regresó a Pisa alrededor del año 1200, escribió una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las pequeñas cantidades de copias que de ellos circulaban también se hacían a mano. Todavía hoy se conservan copias de “Liber abaci” (Libro del ábaco, 1202); “Practica geometriae” (Prácticas de geometría, 1220); “Flos” (Flor, 1225) y “Liber quadratorum” (Libro de los números cuadrados, 1227). Sin embargo, son muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.
La más conocida de sus obras, el “Libro del ábaco” era un amplio tratado del sistema de numeración indo-arábigo, cuyos razonamientos no causaron en un principio demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Sin embargo, con el tiempo su libro llegó a ser la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga en una época en la que todavía se usaban los números romanos, por lo que se la considera impulsora de las bases de la aritmética moderna en Occidente. El libro fue concluido en Pisa en 1202 y ha llegado hasta el presente una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de la época. Esa obra mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo de intereses y otras numerosas aplicaciones. El libro fue recibido con entusiasmo entre el público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

“Imaginemos -escribió Fibonacci- que en un patio cercado se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, suponiendo que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen cría y, en el cuarto, el número de parejas llega a ocho. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las ocho parejas ya existentes, hacen trece parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen cría en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen veintiún parejas. Sumando a éstas las trece parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de treinta y cuatro parejas. Sumando a éstas las veintiún parejas que nacen en el octavo mes, el total es de cincuenta y cinco parejas. Sumando a éstas las treinta y cuatro parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen ochenta y nueve parejas. Agregando a éstas las cincuenta y cinco parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de ciento cuarenta y cuatro parejas. Agregando a éstas las ochenta y nueve parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de doscientas treinta tres parejas. Finalmente, sumando a éstas ciento cuarenta y cuatro parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de trescientas setenta y siete parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año”. Y concluyó el matemático: “Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377”.

Medio siglo antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, esta sucesión de números había sido descubierta por algunos matemáticos hindúes que habían investigado los patrones rítmicos que se forman con sílabas o notas de uno o dos pulsos. La sucesión de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza: en las escamas de una piña (aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos de la sucesión), en las flores del girasol (que forman una red de espirales, unas van en el sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión) y en la variable cantidad de pétalos de las margaritas. También se presenta en las espirales de las galaxias. Los primeros números de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1.597, 2.584, 4.181, 6.765, 10.946, 17.711, 28.657, 46.368, 75.025, 121.393, 196.418, 317.811, 514.229, etc.

En el “Libro de los números cuadrados” aparecen otras interesantes deducciones realizadas por Fibonacci. En él desarrolló la teoría de los números y, entre otras cosas, examinó los métodos para encontrar los triples pitagóricos. En primer lugar, destacó que los números cuadrados podían ser construidos como sumas de impares: “Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1; sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la secuencia y serie de números cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares”.

Para construir los triples pitagóricos, Fibonacci explicó: “Así cuando deseo encontrar dos cuadrados cuya adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar como uno de los dos y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números impares desde la unidad hacia arriba, pero excluyendo el cuadrado impar. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado siguiente se obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a 9, es decir 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da 25, otro cuadrado”.

La influencia de Fibonacci fue muy limitada en su época. Sólo tuvieron peso aquellas partes del “Libro del ábaco” y de “Prácticas de geometría” que sirvieron para introducir los números y los métodos indo-arábigos y contribuyeron a solucionar problemas de la vida diaria. La contribución de Fibonacci a la teoría de números fue ampliamente ignorada y virtualmente desconocida durante la Edad Media. Hubieron de pasar trescientos años para encontrar nuevos estudios sobre sus teorías en las obras “De divina proportione” (La divina proporción) y “Opuscula mathematica” (Opúsculos matemáticos) de los científicos italianos Luca Pacioli (1445-1517) y Francesco Maurolico (1494-1575) respectivamente.

Tiempo después, los números de Fibonacci fueron estudiados por el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien desarrolló el concepto que pasaría a la historia como “la divina proporción” en su obra “Strena seu de nive sexángula” (El copo de nieve de seis ángulos) de 1611. Allí aplicó dicha sucesión a la simetría en los cristales de hielo, estudios que luego serían continuados por el matemático escocés Robert Simson (1687-1768) en “The elements of the conic sections” (Los elementos de las secciones cónicas) de 1753, y ampliados por científicos como el estadounidense Alwyn Bentley (1865-1931) o el japonés Ukichiro Nakaya (1900-1962) ya en el siglo XX.

Las importantísimas aportaciones de Fibonacci a las matemáticas llegaron a ser conocidas gracias a un matemático francés del siglo XIX, Edouard Lucas (1842-1891), interesado en la teoría de los números y recopilador de una clásica obra de matemáticas recreativas: “Récréations mathématiques” (Recreaciones matemáticas), publicada en cuatro volúmenes entre 1882 y 1894. Lucas vinculó el nombre de Fibonacci a la sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del “Libro del ábaco”, a la que bautizó como “sucesión de Fibonacci”. Dicha serie también fue utilizada en el ámbito musical ya en el siglo XIX por el compositor franco-polaco Frédéric Chopin​ (1810-1849) en su “Prelude in G minor” (Preludio en Sol menor), y especialmente durante el siglo XX cuando compositores como Béla Bartok (1881-1945) en “Musik für saiteninstrumente, schlagzeug und celesta” (Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta) u Oliver Messiaen (1908-1992) en “Quatuor pour la fin du temps” (Cuarteto para el fin de los tiempos) la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras musicales.

También se utilizó en distintas vertientes del arte, como en las instalaciones y lienzos del artista italiano Mario Merz (1925-2003) “Igloo di Giap” (Iglú de Giap), “La natura è l’equilibrio della spirale” (La naturaleza es el equilibrio de la espiral), “Il guardiano” (El guardián), “Pittore in Africa” (Pintor en África) y “Fibonacci sequence” (Secuencia de Fibonacci); y en la literatura, como en el poema “Alfabet” (Alfabeto) de la poetisa danesa Inger Christensen (1935-2009), en los poemas de “The weight of numbers” (El peso de los números) de la poetisa estadounidense Judith Baumel (1956), en los poemas de “Las razones del agua” del poeta español Francisco Javier Guerrero (1976), en la novela de ciencia ficción “Rama II” del estadounidense Gentry Lee (1942) en coautoría con el británico Arthur C. Clarke (1917-2008), o como en la novela “The Da Vinci code” (El código Da Vinci) del escritor estadounidense Dan Brown (1964).

Son numerosos también los ejemplos de la utilización de la proporción numérica de Fibonacci en famosas obras pictóricas. Así, por ejemplo, pueden citarse lienzos de pintores italianos como “La nascita di Venere” (El nacimiento de Venus) de Sandro Botticelli (1445-1510), “Uomo Vitruviano” (Hombre de Vitruvio) y “Gioconda” (La Gioconda) de Leonardo Da Vinci (1452-1519), “La madonna del cardellino” (La virgen del jilguero) de Rafael Sanzio (1483-1520) y “Davide e Golia” (David y Goliat) de Michelangelo Caravaggio (1571-1610); los de pintores españoles como “Las meninas” de Diego de Velázquez (1599-1660) y “Leda atómica” de Salvador Dalí (1904-1989); el del pintor alemán “Adam und Eva” (Adán y Eva) de Albrecht Durero (1471-1528); el del pintor neerlandés “De sterrennacht” (La noche estrellada) de Vincent van Gogh (1853-1890) y el del pintor uruguayo “Construcción en rojo y ocre” de Joaquín Torres García (1874-1949).

Incluso el famoso fotógrafo francés Henri Cartier Bresson (1908-2004) utilizó la representación geométrica de la sucesión de Fibonacci conocida como “Espiral de Fibonacci” en muchas de sus fotografías en blanco y negro, y lo propio hizo el artista neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) en muchos de sus dibujos y grabados. Evidentemente, muchos de estos artistas adhirieron a las ideas del teórico y pintor ruso Vasili Kandinksy (1866-1944) quien, en su ensayo de 1926 titulado “Punkt und linie zu fläche: ein beitrag zur analyse der malerischen elemente” (Punto y línea sobre el plano: una contribución al análisis de los elementos pictóricos), propuso que la imaginación de los artistas fuera reemplazada por una concepción matemática. O tal vez lo que hicieron fue conjugar ambas habilidades: la creatividad ficcional con la ciencia numérica.
Por otro lado, es significativo recordar la importancia que tuvo (y tiene) el “Libro del ábaco” en las finanzas cuantitativas. Conocedor de las grandes aportaciones que hiciera el matemático griego Pitágoras de Samos (570-490 a.C.) al avance de las matemáticas en su escuela de Crotona, y de obras como “Stoïkheïa” (Elementos) del matemático griego Euclides de Alejandría (c. 325-c. 265 a.C.) y “Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala” (Compendio de cálculo por reintegración y comparación) del matemático persa Al-Khwarizmi (c. 780-c. 850), Fibonacci también conoció el oficio del comercio y los problemas matemáticos que conllevaban el intercambio de mercaderías, la equivalencia entre monedas, el cálculo de intereses, etc. La complejidad de estas cuestiones requería utilizar métodos eficientes de cálculo para quien quisiera ser exitoso en los negocios.

Si bien ya la civilización sumeria -considerada como la más antigua del mundo conocida por la humanidad- en el tercer milenio a.C. tuvo una importante actividad comercial basada en el intercambio de productos agrícolas por metales preciosos como el oro y la plata, en la civilización griega la mayoría de los grandes pensadores consideraban indignas las aplicaciones de las matemáticas a las transacciones comerciales. El filósofo Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.), por ejemplo, en su obra “Politiká” (Política) se oponía al comercio porque lo consideraba una actividad para obtener ganancias a costa de los demás y estaba en contra del cobro de intereses, algo que juzgaba una aberración. Sin embargo, en la antigua Roma, por entonces era común que alguien con dinero para prestar se ubicara en un banco de plaza y allí hiciera sus negocios, dando comienzo al funcionamiento de los antepasados de los bancos.
En los tiempos de Fibonacci, luego de una oscura época posterior a la caída del Imperio Romano, comenzó en Europa a resurgir la economía. El intercambio comercial entre ciudades ubicadas sobre el mar Mediterráneo estaba en su auge. Ciudades marítimas como Génova, Venecia, Amalfi e inclusive su ciudad natal, Pisa, fueron de fundamental importancia para el comercio mediterráneo. Por esa razón se desarrolló notablemente la matemática financiera, algo en lo que la “secuencia de Fibonacci” tuvo una gran relevancia. Pasados los siglos, hoy en día, el desarrollo de esas herramientas matemáticas guarda una estrecha relación con el surgimiento de operaciones financieras cada vez más sofisticadas y especulativas dentro de un sistema económico en el cual, las instituciones financieras, desempeñan un papel central en desmedro de la producción de bienes y servicios y provocan la concentración de la riqueza, la inestabilidad económica y el acrecentamiento de las desigualdades sociales. Algo que, seguramente, Fibonacci no pensó en su momento.

Stravinski: innovación, mordacidad, escándalos y el elevado costo de sus obras

Ígor Fiódorovich Stravinski (1882-1971) fue un compositor, pianista y director de orquesta ruso, considerado como uno de los más importantes y trascendentales del siglo XX. Se distinguió por su innovador enfoque de la armonía, el ritmo y la orquestación, y compuso obras sinfónicas, óperas, conciertos, ballets, misas y composiciones vocales. Hijo de Fiódor Stravinski (1843-1902), un reconocido cantante de ópera que actuaba en el Mariinskiy Teatr (Teatro Mariinski) de San Petersburgo, un establecimiento artístico del cual absorbió su gran atmósfera cultural, desde los nueve años comenzó a estudiar piano. En 1903 conoció al compositor ruso Nikolái Rimski Kórsakov (1844-1908), padre de uno de sus compañeros del colegio y poseedor de un amplio conocimiento enciclopédico de la música folclórica rusa, con quien tomó clases particulares. Mientras tanto había comenzado a estudiar Derecho en la Sankt Peterburgskiy Gosudárstvenny Universitet (Universidad Estatal de San Petersburgo), pero abandonó la carrera en 1905.
Poco después del fallecimiento de Rimski Kórsakov, conoció al empresario Serguéi Diáguilev (1872-1929), una de las personalidades más influyentes de la danza escénica del siglo XX quien fundó en París Les Ballets Russes (Los Ballets Rusos), la compañía más vanguardista de la época de la que surgieron talentosos bailarines, coreógrafos y compositores. Fue él quien le encargó a Stravinski que compusiera un ballet para exhibirlo en la capital francesa. El resultado fue “L'oiseau de feu” (El pájaro de fuego), el cual se estrenó en 1910 con un gran éxito. Luego compuso la ópera “Le rossignol” (El ruiseñor) y otros dos ballets: “Petrushka” y “Le sacre du printemps” (La consagración de la primavera), obras todas ellas que contribuyeron a que obtuviese la fama internacional.
Para la crítica especializada, la obra más reconocida de Stravinski es precisamente “La consagración de la primavera”. Con la coreografía del bailarín de ballet y coreógrafo ruso​ de origen polaco Vaslav Niyinski (1889-1950), se estrenó el 29 de mayo de 1913 en el Théâtre des Champs Élysées (Teatro de los Campos Elíseos), al cual asistió un numeroso público. Frente a una composición que rompía abiertamente con los conceptos de la música clásica por el uso de disonancias y la ruptura del ritmo y la melodía, y una temática centrada en el sacrificio ritual de una joven virgen elegida para celebrar la primavera bailando hasta su muerte, dicho estreno causó polémica: desde el comienzo de la obra se escucharon gritos, abucheos, se generaron disturbios y discusiones.

Entre quienes presenciaron este evento estaban personalidades como el compositor y director de orquesta Camille Saint Saëns (1835-1921), la novelista y dramaturga Gertrude Stein (1874-1946), el pintor Pablo Picasso (1881-1973), la diseñadora de moda Coco Chanel (1883-1971), los compositores Claude Debussy (1862-1918) y Maurice Ravel (1875-1937), la pintora, dibujante e ilustradora Valentine Gross (1887-1968) y el escritor y crítico de arte Jean Cocteau (1889-1963). “El teatro parecía sacudido por un terremoto -recordaría tiempo después Valentine Gross- la gente gritaba insultos, chillaba, silbaba. Hubo puñetazos. Las palabras son inadecuadas para describir una escena como esa”. Y según narró Jean Cocteau en uno de los artículos que publicó en el periódico parisino “Paris-Midi” -los cuales serían reunidos y publicados en un libro con el nombre “Carte blanche” (Carta blanca)-: “La sala se sublevó inmediatamente. La gente reía, hacía burlas, pitaba, hacía sonidos de animales y quizá se hubieran cansado a la larga si no fuera porque la multitud de estetas y músicos, en su exagerado celo, se puso a ofender al público de los palcos y a atacarlo físicamente”.

Por su parte, el musicólogo británico especializado en la música de los siglos XX y XXI Jonathan Cross (1961) en su ensayo biográfico “Ígor Stravinski” aseguró que el escándalo había sido hábilmente provocado por el mismísimo empresario de los Ballets Rusos, el citado Diáguilev, quien había repartido entradas gratuitas entre los alborotadores. Y agregó que “apenas hubo prensa aquel 29 de mayo de 1913 en el Théâtre des Champs-Élysées, pues los periodistas, junto a Debussy o Ravel, habían asistido a un pase el día anterior en que la obra de Stravinski fue recibida con entusiasmo”.
En su ensayo “Stravinski. A creative spring: Russia and France, 1882-1934” (Stravinski. Una primavera creativa: Rusia y Francia, 1882-1934), el musicólogo y biógrafo de música clásica británico Stephen Walsh (1942) narró lo extrañísimas que resultaron para el público tanto la música como la coreografía. Según cuenta el autor, ese estreno dio lugar a uno de los mayores escándalos de la historia de la música. “Parte del auditorio se sintió ofendida por lo que le parecía un intento blasfematorio encaminado a destruir la música como una de las bellas artes y, movida por su furor, al poco rato de levantarse el telón, empezó a lanzar maullidos y a vociferar para que se suspendiera el espectáculo. La orquesta, entre tanto barullo, no se podía escuchar más que de vez en cuando, en alguno de los raros sosiegos que se producían… El escándalo iba en aumento. Una señora se levantó de la silla de su palco para pegar un bofetón a un caballero que silbaba. Saint Saëns denunciaba al compositor por farsante, y lo mismo André Capu, el conocido crítico. Ravel, en el lado opuesto, proclamaba a gritos que el ballet era obra de un genio. El embajador de Austria se reía de una manera ostensible, y Florent Schmitt lo insultaba llamándole estúpido. La princesa de Portualés se puso de pie exclamando: ‘tengo sesenta años, pero es la primera vez que alguien se ha atrevido a burlarse de mí’. En medio del barullo, Claude Debussy suplicaba vehementemente al auditorio que guardase silencio para que se pudiese oír aquella música maravillosa”.
En actuaciones posteriores, sin embargo, el público lo aplaudió y sus admiradores no dejaron de aumentar. En Berlín, Londres, New York, París y Venecia era recibido con los mayores respetos como un exitoso pianista y director. No fue necesario que pasase mucho tiempo para que la partitura de Stravinski se convirtiera en uno de los ballets más populares junto a “Shchelkuntchik” (El cascanueces) que Piotr Tchaikovski (1840-1893) había compuesto en 1892 y a “Romeo i Dzhulyetta” (Romeo y Julieta) que Serguéi Prokófiev (1891-1953) compuso en 1936.
En el momento en que se produjo la Revolución Rusa, Stravinski se encontraba de gira y residía en Suiza, donde compuso “Histoire du soldat” (Historia de un soldado), una ópera con claro contenido antibélico que estrenó en Weimar. Años después, cuando se instaló el régimen estalinista, fue calificado como un “modernista burgués y degenerado” y fue incluido en listas negras junto a otros grandes compositores como Johann Sebastian Bach (1685-1750), Ludwig van Beethoven​ (1770-1827), Frédéric Chopin​ (1810-1849), Franz Liszt (1811-1886) y el antes citado Piotr Ilich Tchaikovski. Recién en la época conocida como el “deshielo en la Unión Soviética” propiciado por el Dirigente de la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas Nikita Jrushchov (1894-1971), quien invitó a Stravinski a dar conciertos en Moscú y Leningrado para celebrar su octogésimo cumpleaños. Incluso fue invitado a quedarse en Rusia, algo a lo que el compositor de “Zhar ptitsa” (El pájaro de fuego) -otra de sus grandes obras la cual se basó en cuentos del folclore ruso- se negó. En 1972, un año después de su muerte, la ministra soviética de Cultura Ekaterina Alekséievna Fúrtseva (1910-1974) ordenó a los músicos soviéticos “estudiar y admirar” la música de Stravinski.
Según narró el mencionado Cross, Stravinski “fue un monárquico convencido a lo largo de su vida y odió a los bolcheviques desde el principio. En 1930 comentó: ‘No creo que nadie venere a Mussolini más que yo’. Más tarde, después de una audiencia privada con Mussolini, añadió: ‘A menos que mis oídos me engañen, la voz de Roma es la voz del Duce. Le dije que me sentía fascista. A pesar de estar muy ocupado, Mussolini me hizo el gran honor de conversar conmigo durante tres cuartos de hora, hablamos de música, arte y política’”.
Cuando los nazis colocaron las obras de Stravinski en la lista de “Entartete musik” (Música degenerada) -agregó Cross-, “presentó un llamamiento formal para establecer su genealogía rusa y declaró: ‘Detesto todo el comunismo, el marxismo, el execrable monstruo soviético y también todo el liberalismo, la democratización, el ateísmo, etc.’”. El compositor canadiense Harry Somers (1925-1999) dijo alguna vez que su “música era para la gente que prefiere el vino seco y el whisky solo”. Y en su ensayo “Philosophie der neuen musik” (Filosofía de la nueva música) el filósofo alemán Theodor Adorno (1903-1969) -uno de los máximos representantes de la Frankfurter Schule (Escuela de Fráncfort)- describió a Stravinski como un “acróbata” y habló de “rasgos de esquizofrenia desorganizada y psicótica” en varias de sus obras.

Stravinski falleció en su recién adquirido lujoso apartamento de diez habitaciones en la Quinta Avenida de Nueva York a las 5:20 del 6 de abril de 1971. El deceso fue producto de una insuficiencia cardíaca luego de haberse recuperado de un edema pulmonar. Tres días más tarde, el 9 de abril, se celebró un servicio mortuorio en una famosa funeraria ubicada en la Avenida Madison y la calle 81 de Manhattan, a pocos metros del domicilio del compositor, un evento que congregó a cientos de admiradores. El servicio comenzó a las 15:00 hs. con música del propio Stravinski: su versión coral de “Otche nash” (Padre nuestro), la cual había compuesto en 1926. Por decisión de su viuda, la pintora Vera de Bosset (1888-1982), fue enterrado en la isla de San Michele de Venecia, ciudad en la que en 1951 había estrenado su ópera “The rake’s progress” (El progreso del libertino). Una multitud llenó las calles alrededor de la Basílica de SS. Giovanni e Paolo el 15 de abril de 1971, mientras su ataúd salía en un cortejo fúnebre formado por veinticinco góndolas colmadas de flores con destino a la “isla de los muertos”, tal como se conoce al cementerio histórico de Venecia.
Uno de los principales testimonios del funeral lo hizo la pianista y compositora brasileña Jocy de Oliveira (1936) en una de las cartas que componen su libro “Diálogo com cartas” (Diálogo con cartas). La artista, que había conocido a Stravinski siendo muy joven, recordó que al compositor ruso no le gustaban los funerales y que no había ido a ninguno, ni siquiera al de su primera esposa Yekaterina Nosenko (1881-1939), y comentó que la ceremonia incluyó la interpretación de “Requiem canticles” (Cánticos de réquiem), una composición que Stravinski había escrito en 1966 pensando en su propio funeral. Otro obituario memorable fue el que publicó el 7 de noviembre el crítico musical Charles Acton (1914-1999) en el diario irlandés “The Irish Times”. Allí manifestó: “¿Qué puede escribir la gente corriente sobre los inmortales? ¿Qué se podría haber escrito frente a la muerte de Beethoven? Porque, cualquiera que sea el veredicto sobre la música de Stravinski dentro de cincuenta o doscientos años, él y la música de este siglo estarán relacionados, al igual que Beethoven y la del anterior. Y seguramente para la humanidad en su conjunto el nacimiento de Beethoven en 1770, y la muerte de Stravinski, casi dos siglos después, definen un período de nuestra historia”.
No fueron pocas sus apreciaciones sobre el arte de la música. En el libro “Poétique musicale” (Poética musical) que recopiló seis conferencias dictadas entre 1939 y 1940 en la Harvard University de Massachusetts, Estados Unidos, expresó: “Se me ha hecho revolucionario a pesar mío. Los arrebatos revolucionarios nunca son enteramente espontáneos. Hay gentes hábiles que fabrican revoluciones con premeditación. El arte es constructivo por esencia. La revolución implica una ruptura de equilibrio. Quien dice revolución dice caos. Y el arte es lo contrario del caos. La cualidad de revolucionario se atribuye generalmente a los artistas de nuestros días con una intención laudatoria, sin duda porque vivimos en un tiempo en el que la revolución goza de una especie de prestigio en medio de una sociedad anticuada. Admite el músico la audiencia que mueve a las grandes acciones, nunca la que se pone al servicio del desorden”.
En otras conferencias opinó que “el problema con respecto a la apreciación de la música reside en que las personas que enseñan música hacen tenerle demasiado respeto a ella, cuando deberían enseñar a amarla. La música nos es dada con el único propósito de establecer un orden en las cosas, incluida, en particular, la coordinación entre el hombre y el tiempo”. También expuso conceptos como “no basta con oír la música; además, hay que verla”, “la música es incapaz de expresar nada por sí misma”, “soy un inventor de la música”, “un buen compositor no imita, roba”, “mi música la entienden mejor los niños y los animales”, “principalmente he aprendido en toda mi vida como compositor a través de mis errores y persecuciones de falsas suposiciones, y no por mi exposición a las fuentes de sabiduría y conocimiento” y, ante las críticas que lo tildaban como músico del porvenir respondió: “Es algo absurdo. No vivo en el pasado ni en el futuro. Estoy en el presente. No puedo saber qué es lo que ha de traer consigo el día de mañana; puedo tan sólo atenerme a lo que hoy es para mí una certeza”.
También fue un crítico mordaz de otros músicos. Por ejemplo, sobre el violinista y compositor italiano Antonio Vivaldi (1678-1741) aseveró: “Vivaldi no escribió cuatrocientos conciertos, escribió el mismo concierto cuatrocientas veces”. Sobre el compositor y director de orquesta alemán Richard Wagner (1813-1883) consideró que era “un compositor problemático”, y agregó: “en esencia, lo que irrita en esos rebeldes del arte, de los que Wagner nos ofrece el tipo acabado, es el espíritu de sistema con que, bajo pretexto de desterrar las convenciones, establece otras tan arbitrarias y mucho más molestas”. E irónicamente se refirió al director de orquesta y compositor brasileño Heitor Villa Lobos (1887-1959): “¿Por qué es que cada vez que escucho una pieza de música que no me gusta, siempre es por Villa Lobos?”.

La mayoría de las personas que lo conocieron, a través de conversaciones personales o por sus actuaciones, lo recordaron como una persona cortés, atenta y preocupada por los demás. Por ejemplo, para algunos colegas, Stravinski era muy cooperativo y fácil de tratar, aunque tenía un menosprecio por las “clases sociales inferiores”. Para otros, en cambio, era vergonzoso como golpeaba insistentemente con un tenedor un vaso de vino para exigir ruidosamente la atención en los restaurantes. De todas maneras, Stravinski demostrando su aptitud para jugar el rol de “hombre de mundo”, adquirió un instinto perspicaz para las cuestiones de negocios, lo que le permitió aparecer relajado y cómodo en muchas de las grandes ciudades del mundo.
Una de las anécdotas más jugosas en ese sentido es la que refiere al episodio que sucedió en la primavera de 1938 cuando le encargaron la composición de una obra que luego sería conocida como el “Dumbarton Oaks Concerto” (Concierto de Dumbarton Oaks), haciendo referencia a la mansión del siglo XIX ubicada en el barrio de Georgetown de Washington, Estados Unidos. Su propietaria, Mildred Barnes Bliss (1879-1969), le pidió al compositor que el estreno fuera en dicha mansión. Momentos antes de comenzar la interpretación, Stravinski fue invitado a pasar a un escritorio donde escuchó excusas de la anfitriona y el pedido de una cifra para llenar el cheque correspondiente. “Cincrrrmmmil dólares”, murmuró el músico. “¿Cinco mil dólares?”, contestó esperanzada la señora. “No, cincuenta mil”. La dama, sin perder la compostura, solicitó una explicación. “Es que cada nota fue escrita a mano”, concluyó el maestro ruso.