7 de mayo de 2008

Los conejos de Fibonacci

Entre los matemáticos europeos de la Edad Media, el más gran­de de todos fue sin duda Leonardo de Pisa (1170-1250), también llamado Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, aunque es más conocido como Fibonacci, que significa "hijo de Bonaccio" ("bondadoso", que era el apodo de su padre).
A pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado en una fac­toría mercantil italiana asentada en Bougie, Argelia, fue allí don­de el joven recibió su primera formación matemática, a cargo de maestros musulmanes. Pronto se dio cuenta de la enorme superioridad de la notación decimal indo-arábiga (provista de símbolo para el cero y de ci­fras cuyos valores dependían de su posición) sobre el engorroso sistema de numeración romana, empleado todavía en su país natal.
Cuando regresó a Pisa alrededor del año 1200, escribió una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y las pequeñas cantidades de copias que de ellos circulaban también se hacían a mano. Todavía hoy se conservan copias de: "Liber abaci" (Libro del ábaco, 1202); "Practica geometriae" (Prácticas de geometría, 1220); "Flos" (Flor, 1225) y "Liber quadratorum" (Libro de los números cuadrados, 1227). Sin embargo son muchos más los que se perdieron en el transcurso de la historia.
La más conocida de sus obras, el "Libro del ábaco" era un amplio tratado del sistema de numeración indo-arábigo, cuyos razonamientos no causaron demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Sin embargo, con el tiempo su libro llegó a ser la obra de máxima influencia entre todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga. El libro fue concluido en Pisa en 1202 y ha llegado hasta el presente una edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de la época.
Sus importantísimas aportaciones a la matemática llegaron a ser conocidas gracias a un matemático francés del siglo XIX, Edouard Lucas (1842-1891), interesado en la teoría de los números y recopilador de una clásica obra de matemáticas recreativas: "Récréations mathématiques", publicada en cuatro volúmenes entre 1882 y 1894. Lucas vinculó el nombre de Fibonacci a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del "Libro del ábaco": "Imaginemos -escribió Fibonacci- que en un patio cercado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, suponiendo que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva.Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen cría y, en el cuarto, el número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen cría en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen 21 parejas. Simando a éstas las 13 parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55 parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando a éstas las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233 parejas. Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de 377 parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año". Y concluye el matemático: "Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377".
Medio siglo antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, esta sucesión de números había sido descubierta por algunos matemáticos hindúes que habían investigado los patrones rítmicos que se forman con sílabas o notas de uno o dos pulsos. La sucesión de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza: en las escamas de una piña (aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los términos de la sucesión), en las flores del girasol (que forman una red de espirales, unas van en el sentido de las agujas del reloj y otras en el contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos consecutivos de la sucesión) y en la variable cantidad de pétalos de las margaritas. También se presenta en las espirales de las galaxias. Los primeros números de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, etc.En el “Libro de los números cuadrados” aparecen otras interesantes deducciones realizadas por Fibonacci. En él desarrolló la teoría de los números y, entre otras cosas, examinó los métodos para encontrar los triples Pitagóricos. En primer lugar destacó que los números cuadrados podían ser construidos como sumas de impares: "Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1; sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la secuencia y serie de números cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares".
Para construir los triples Pitagóricos, Fibonacci explicó: "Así cuando deseo encontrar dos cuadrados cuya adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar como uno de los dos y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números impares desde la unidad hacia arriba pero excluyendo el cuadrado impar. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado siguiente se obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a 9, es decir 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da 25, otro cuadrado".
La influencia de Fibonacci fue muy limitada en su época. Sólo tuvieron peso aquellas partes del "Libro del ábaco" y de "Prácticas de geometría" que sirvieron para introducir los números y los métodos indo-arábigos y contribuyeron a solucionar problemas de la vida diaria. La contribución de Fibonacci a la teoría de números fue ampliamente ignorada y virtualmente desconocida durante la Edad Media. Hubieron de pasar trescientos años para encontrar los mismos resultados en la obra del matemático y astrónomo italiano Francesco Maurolico (1494-1575).Un siglo después, los números de Fibonacci fueron estudiados por el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) y por el matemático escocés Robert Simson (1687-1768). La serie también fue utilizada en el ámbito musical durante el siglo XX especialmente, cuando compositores como Béla Bartok (1881-1945) u Oliver Messiaen (1908-1992) la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.