Entre los
matemáticos europeos de la Edad Media, el más grande de todos fue sin dudas
Leonardo de Pisa (1170-1250), también llamado Leonardo Pisano o Leonardo
Bigollo, aunque es más conocido como Fibonacci, que significa "hijo de
Bonaccio" (bondadoso), que era el apodo de su padre. A pesar de haber
nacido en Pisa, como su padre era empleado en una factoría mercantil italiana
asentada en Bugía, al norte de Argelia, fue allí donde el joven recibió su primera
formación matemática a cargo de maestros musulmanes. Pronto se dio cuenta de la
enorme superioridad de la notación decimal indo-arábiga (provista de símbolo
para el cero y de cifras cuyos valores dependían de su posición) sobre el
engorroso sistema de numeración romana, empleado todavía en su país natal.
Consciente
de las ventajas de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países
que rodeaban el mar Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más
destacados de ese tiempo. Así descubrió que la sucesión de los números había
sido ya tratada por matemáticos hindúes del siglo XI, pero fue él quien la dio
a conocer en Occidente. Cuando regresó a Pisa alrededor del año 1200, escribió
una gran cantidad de libros y textos sobre matemáticas. En la época en la que
vivió aún no existía la imprenta, por lo que sus libros eran escritos a mano y
las pequeñas cantidades de copias que de ellos circulaban también se hacían a
mano. Todavía hoy se conservan copias de "Liber abaci" (Libro del
ábaco, 1202); "Practica geometriae" (Prácticas de geometría, 1220);
"Flos" (Flor, 1225) y "Liber quadratorum" (Libro de los
números cuadrados, 1227). Sin embargo son muchos más los que se perdieron en el
transcurso de la historia.
La más
conocida de sus obras, el "Libro del ábaco" era un amplio tratado del
sistema de numeración indo-arábigo, cuyos razonamientos no causaron en un
principio demasiada impresión a los mercaderes italianos de la época. Sin
embargo, con el tiempo su libro llegó a ser la obra de máxima influencia entre
todas las que contribuyeron a introducir en Occidente la notación indo-arábiga.
El libro fue concluido en Pisa en 1202 y ha llegado hasta el presente una
edición revisada de 1228, dedicada a un famoso astrólogo cortesano de la época.
Esa obra mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la
contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo de intereses y
otras numerosas aplicaciones. El libro fue recibido con entusiasmo entre el
público culto, teniendo un impacto profundo en el pensamiento matemático
europeo.
"Imaginemos
-escribió Fibonacci- que en un patio cercado, se coloca una pareja de conejos
para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, suponiendo que
cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen
a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer
mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una
pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera
que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen
descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos
parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a
cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen cría y, en el cuarto, el
número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco
parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en
el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen cría en este mes, mientras que
las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se
tienen 21 parejas. Sumando a éstas las 13 parejas que nacen en el séptimo mes,
se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las 21 parejas que nacen en
el octavo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que
nacen en el noveno mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55
parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando
a éstas las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233
parejas. Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se
obtienen un total de 377 parejas. Este es el número de parejas producidas por
la primera pareja en el lugar dado, al término de un año". Y concluye el
matemático: "Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se
llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1
a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así
sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233;
así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir,
377".
Medio
siglo antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, esta sucesión de números
había sido descubierta por algunos matemáticos hindúes que habían investigado
los patrones rítmicos que se forman con sílabas o notas de uno o dos pulsos. La
sucesión de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza: en las escamas
de una piña (aparecen en espiral alrededor del vértice en número igual a los
términos de la sucesión), en las flores del girasol (que forman una red de
espirales, unas van en el sentido de las agujas del reloj y otras en el
contrario, pero siempre las cantidades de unas y de otras son los términos
consecutivos de la sucesión) y en la variable cantidad de pétalos de las
margaritas. También se presenta en las espirales de las galaxias. Los primeros
números de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,
75025, 121393, 196418, 317811, 514229, etc.
En el
“Libro de los números cuadrados” aparecen otras interesantes deducciones
realizadas por Fibonacci. En él desarrolló la teoría de los números y, entre
otras cosas, examinó los métodos para encontrar los triples pitagóricos. En
primer lugar destacó que los números cuadrados podían ser construidos como
sumas de impares: "Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y
descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la
unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1;
sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a
esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer
cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la secuencia y serie de números
cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares".
Para construir
los triples pitagóricos, Fibonacci explicó: "Así cuando deseo encontrar
dos cuadrados cuya adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar
como uno de los dos y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números
impares desde la unidad hacia arriba pero excluyendo el cuadrado impar. Por
ejemplo, tomo 9 como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado
siguiente se obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a
9, es decir 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da
25, otro cuadrado".
La
influencia de Fibonacci fue muy limitada en su época. Sólo tuvieron peso
aquellas partes del "Libro del ábaco" y de "Prácticas de
geometría" que sirvieron para introducir los números y los métodos
indo-arábigos y contribuyeron a solucionar problemas de la vida diaria. La
contribución de Fibonacci a la teoría de números fue ampliamente ignorada y
virtualmente desconocida durante la Edad Media. Hubieron de pasar trescientos
años para encontrar nuevos estudios sobre sus teorías en las obras "De divina
proportione" (La divina proporción) y "Opuscula Mathematica" (Opúsculos
matemáticos) de los científicos italianos Luca Pacioli (1445-1517) y Francesco
Maurolico (1494-1575) respectivamente.
Tiempo
después, los números de Fibonacci fueron estudiados por el matemático y
astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien desarrolló el concepto que
pasaría a la historia como "la divina proporción" en su obra
"Strena seu de nive sexangula" (El copo de nieve de seis ángulos) de
1611. Allí aplicó dicha sucesión a la simetría en los cristales de hielo,
estudios que luego serían continuados por el matemático escocés Robert Simson
(1687-1768) en "The elements of the conic sections" (Los elementos de
las secciones cónicas) de 1753, y ampliados por científicos como el
estadounidense Alwyn Bentley (1865-1931) o el japonés Ukichiro Nakaya
(1900-1962) ya en el siglo XX.
Las
importantísimas aportaciones de Fibonacci a las matemáticas llegaron a ser
conocidas gracias a un matemático francés del siglo XIX, Edouard Lucas
(1842-1891), interesado en la teoría de los números y recopilador de una clásica
obra de matemáticas recreativas: "Récréations mathématiques"
(Recreaciones matemáticas), publicada en cuatro volúmenes entre 1882 y 1894.
Lucas vinculó el nombre de Fibonacci a la sucesión numérica que forma parte de
un problema trivial del "Libro del ábaco", a la que bautizó como
"sucesión de Fibonacci". La serie
también fue utilizada en el ámbito musical durante el siglo XX especialmente,
cuando compositores como Béla Bartok (1881-1945) u Oliver Messiaen (1908-1992)
la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras musicales, y
también en el arte, como en las obras del artista italiano Mario Merz
(1925-2003), o en la literatura, como en el poema "Alphabet" (Alfabeto)
de la poeta danesa Inger Christensen (1935-2009).
