Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a 300 a.C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos tenían noción acerca de los números primos (aquellos que sólo son divisibles por si mismos y por la unidad, por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...) y estaban interesados en los números perfectos y en los números amigos. Resulta difícil encontrar un conjunto de números enteros cuyas propiedades sean tan fascinantes como completamente inútiles, o se encontrasen rodeados del misterio más profundo que el de los números perfectos y el de los números amigos.Los números perfectos son, sencillamente, los números iguales a la suma de todos sus divisores propios, es decir, de todos los divisores del número a excepción de él mismo. El menor de tales números es el 6, que es igual a la suma de sus tres divisores propios, 1, 2 y 3. El siguiente es 28, suma de 1+2+4+7+14.
Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento, tanto judíos como cristianos, quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos números, cuando los vincularon con la supuesta creación del mundo en seis días y los veintiocho días que tarda la Luna en circunvalar la Tierra. En "De civitate Dei" (La Ciudad de Dios), Agustín de Hipona (354-430) argumentó que "no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un instante, El prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo". Parecidos puntos de vista habían sido expresados anteriormente por el filósofo judaico Philo Judaeus (20 a.C.-50 d.C.), en "De Opificio Mundi," (Creación del Mundo). "Por consiguiente -concluye San Agustín-, no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al intérprete cuidadoso".
Existen varias propiedades de los números perfectos, por ejemplo que todos ellos son pares, pues no se conocen números perfectos impares, y es probable que no exista ninguno. Otra: todos los números perfectos son triangulares, es decir que pueden ser agrupados en forma de triángulo equilátero, como los diez bolos en el juego del bowling o las quince bolas del juego de billar.
A excepción del 6, todos los números perfectos tienen raíz digital igual a 1 (para obtener la raíz digital de un número se suman sus cifras; después, se suman las cifras de la suma, y así se continúa hasta alcanzar un número de una sola cifra. Así pues, al decir que un número tiene raíz digital igual a 1 estamos diciendo que al dividirlo por 9 dará resto 1). También se puede demostrar que los números perfectos -excepto el 6- son exactamente divisibles por 4 (tal como se puede apreciar en los siguientes de la lista: 496; 8.128; 33.550.336 y 8.589.869.056). No se ha descubierto hasta ahora ningún número perfecto impar, ni tampoco nadie ha podido demostrar que tales números sean imposibles. El matemático inglés Peter Barlow (1776-1862) en "Elementary investigation of the theory of numbers" (Investigación elemental de la teoría de los números, 1811) dijo -tras descubrir el noveno número perfecto- "éste es el máximo de los que serán descubiertos, pues siendo meras curiosidades sin utilidad, no es verosímil que nadie intente hallar otros más allá". Por supuesto, hoy en día, con el auxilio de las computadoras se han encontrado más. Las cifras finales de los números perfectos también suscitan un misterio: siempre terminan en 6 u 8 (cuando acaban en 8 la cifra precedente siempre es un 2; si acaban en 6, la cifra anterior siempre es 1, 3, 5 ó 7, exceptuados los casos 6 y 496). Los antiguos conocían los cuatro primeros números perfectos, a saber: 6, 28, 496 y 8.128, y basándose en ellos concluyeron, muy temerariamente, que las cifras 6 y 8 continuarían alternándose al progresar la serie. Desde la antigüedad al Renacimiento así lo repitieron dogmáticamente, sin demostración, docenas de matemáticos, especialmente después de descubrirse el quinto número perfecto (33.550.336) correctamente dado por vez primera en un manuscrito anónimo del siglo XV. Sin embargo, cuando se descubrió el siguiente (8.589.869.056), se demostró que ésto no era así. El último número perfecto conocido -el trigésimo noveno- fue descubierto en 2001 y tiene 4.053.496 cifras. Se necesitaría una tira de papel de 10.131 metros para escribirlo.
Por su parte, los números amigos son la consecuencia de generalizar de forma evidente la noción de número perfecto. Si se parte de un número cualquiera y se suman sus divisores, obteniendo así un segundo número; si luego se suman los divisores del segundo número y se prosigue así indefinidamente, con la esperanza de retornar al número inicial, podemos observar que, si el primer paso nos devuelve ya el número de partida, éste es perfecto. Cuando el proceso tiene dos etapas se dice que los números son amigos. Cada uno de ellos es la suma de los divisores del otro. Los más pequeños de estos números (220 y 284), fueron conocidos ya por los pitagóricos. Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Su suma da 284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. En total, 220. La hermandad pitagórica consideraba los números 220 y 284 como símbolos de amistad. Los comentaristas de las Escrituras localizaron el número 220 en el Génesis (32:14), por ser éste el número de cabras que Jacob dio a Esaú. Sabia elección, dijeron, porque siendo 220 uno de los integrantes del par amigo, era expresión del afecto que Jacob sentía por Esaú. Durante la Edad Media, este par de números tuvo su importancia en la confección de horóscopos; se creía por otra parte, que un talismán con los números 220 y 284 grabados en él tendría efectos amorosos. Hubo que esperar hasta 1636 para que se descubriera otro par de números amigos -17.296 y 18.416-, hallados por el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665). Rene Descartes (1596-1650) encontró un tercer par -9.363.584 y 9.437.056-, y en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) confeccionó una lista de sesenta y cuatro pares (aunque más tarde se demostró que tenía algunos errores).
El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) descrubrió otro par en 1830. Después, en 1867, un joven italiano de dieciséis años, Nicoló I. Paganini (ninguna relación con el violinista), dejó pasmado al mundo matemático al mostrar que 1.184 y 1.210 eran números amigos. Era, por orden de valor creciente, el segundo par, y se les había pasado por alto a los matemáticos hasta entonces. Entre este par y el de Fermat, se encuentran los siguientes: 2.620 y 2924; 5.020 y 5.564; 6.232 y 6.368; 10.744 y 10.856; y 12.285 y 14.595. Se conocen actualmente más de 5.000 pares de números amigos. Todos los pares de números amigos tienen en sus dos términos igual paridad: ambos son pares o -menos frecuentemente- son los dos impares. No se ha demostrado todavía que sean imposibles los amigos de distinta paridad. Todos los pares de amigos impares descubiertos son múltiplos de 3. Se ha conjeturado que así sucede con todos los amigos impares. No se conoce ninguna fórmula para generar todos los pares de números amigos, y se desconoce además si su número será finito o infinito.
